Конкатенация

Конкатена́ция (сцепле́ние) — операция склеивания объектов линейной структуры, обычно строк. Например, конкатенация слов «микро» и «мир» даст слово «микромир».

В математике

Конкатенация — бинарная операция, определённая на словах данного алфавита. Если <math>\alpha=a_1 \ldots a_n\,</math> и <math>\beta=b_1\ldots b_m\,</math> слова в алфавите <math>A\,</math>, то конкатенацией слов <math> \alpha\, </math> и <math> \beta\, </math>, обозначемой <math> \alpha \cdot \beta\, </math>, будет слово <math> \gamma\, </math> в том же алфавите <math> A\, </math>, определяемое равенством

<math> \gamma = \alpha\cdot\beta = a_1\ldots a_n b_1 \ldots b_m\, </math>.

Например, если <math> \alpha = media \,</math> и <math> \beta = wiki \,</math> слова в алфавите <math> A = \{a,b,c,\ldots,z\} \,</math>, содержащем все буквы латинского алфавита, то

<math> \gamma = \alpha \cdot \beta = media \cdot wiki = mediawiki </math>.

Свойства конкатенации

• Операция конкатенации ассоциативна.
• Операция конкатенации некоммутативна. В самом деле, <math> wiki \cdot media = wikimedia\, </math>, но <math> media \cdot wiki = mediawiki \neq wikimedia\, </math>. От перестановки операндов меняется результат операции, что и означает её некоммутативность.
• Пустое слово, <math> \varepsilon\, </math>, является нейтральным элементом (единицей) операции конкатенации. То есть, если <math> \varepsilon\, </math> — пустое слово, то для любого слова <math> \alpha\, </math> выполнено равенство:

<math> \varepsilon \cdot \alpha = \alpha \cdot \varepsilon = \alpha\, </math>.

• Множество <math>A^*\,</math> всех слов в алфавите образует моноид (так называемая «свободная полугруппа»).
• Множество <math>A^*\setminus \{\varepsilon\}\,</math> всех непустых слов в алфавите образует полугруппу.
• Длина конкатенации слов равна сумме длин операндов:

<math> |\alpha\cdot\beta| = |\alpha| + |\beta| </math>.

Возведение в степень

Операция конкатенации слов, подобно операции умножения чисел, порождает операцию возведения в степень. Пусть <math> \alpha\, </math> некоторое слово в алфавите <math> A\, </math>, а <math> n\, </math> целое неотрицательное число. Тогда <math>n\,</math>-ой степенью слова <math>\alpha\,</math>, обозначаемой <math>\alpha^n\,</math>, будет слово <math>\gamma\,</math> в том же алфавите <math>A\,</math>, определяемое равенством:

<math> \begin{matrix} \gamma = \alpha^n = & \underbrace{\alpha\cdot\ldots\cdot\alpha} \\ & n \end{matrix} </math>

В случае <math> n=0\, </math>, степень <math> \alpha^0\, </math> по определению полагается равной пустому слову, <math> \varepsilon\, </math>.

В информатике

Операция конкатенации определяется для типов данных, имеющих структуру последовательности (список, очередь, массив и ряд других). В общем случае, результатом конкатенации двух объектов <math>A\,</math> и <math>B\,</math> является объект <math>C = A\cdot B\,</math>, полученный поочерёдным добавлением всех элементов объекта <math>B\,</math>, начиная с первого, в конец объекта <math>A\,</math>.

Из соображений удобства и эффективности различают две формы операции конкатенации:

1. Модифицирующая конкатенация. Результат операции формируется в левом операнде.
2. Немодифицирующая конкатенация. Результатом является новый объект, операнды остаются неизменными.