Устойчивость (динамические системы)

В математике, решение дифференциального уравнения (или, шире, траектория динамической системы) называется устойчивым, если поведение решений с близким начальным условием «не сильно отличается» от поведения исходного решения. Слова «не сильно отличается» при этом можно формализовать по-разному, получая разные формальные определения устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость и т.д. (см. ниже). Обычно рассматривается задача об устойчивости тривиального решения в особой точке, поскольку задача об устойчивости произвольной траектории сводится к данной путем замены неизвестной функции.

Постановка задачи устойчивости динамических систем

Пусть <math>\Omega</math> — область пространства <math>\mathbb{R}^n</math>, содержащая начало координат, <math>~I = [\tau; \infty)</math>, где <math>~\tau \in \mathbb{R}</math>. Рассмотрим систему (1) вида:

<math>\dot x = f(t, x), x \in \mathbb{R}^n, f: I \times \Omega \to \mathbb{R}^n, f(t, 0) = 0</math>

При любых <math>~(t_0, x_0) \in I \times \Omega</math> существует единственное решение x(t, t₀, x₀) системы (1), удовлетворяющее начальным условиям x(t₀, t₀, x₀) = x₀. Будем предполагать, что решение x(t, t₀, x₀) определено на интервале <math>~J^+ = [t_0; \infty)</math>, причём <math>~J^+ \subset I</math>.

Устойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых <math>t_0 \in I</math> и <math>\epsilon > 0</math> существует <math>\delta > 0</math>, зависящее только от ε и t₀ и не зависящее от t, такое, что для всякого x₀, для которого <math>\|x_0\| < \delta</math>, решение x системы с начальными условиями x(t₀) = x₀ продолжается на всю полуось t > t₀ и удовлетворяет неравенству <math>\|x(t)\| < \epsilon</math>.

Символически это записывается так:

<math>(\forall \epsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(t_0, \epsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(t_0, \epsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \epsilon)</math>

Равномерная устойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если δ из предыдущего определения зависит только от ε:

<math>(\forall \varepsilon > 0)(\forall t_0 \in I)(\exists \delta(\varepsilon) > 0)(\forall x_0 \in B_{\delta(\varepsilon)})(\forall t \ge t_0, t \in J^+) \Rightarrow (\|x(t, t_0, x_0)\| < \varepsilon)</math>

Неустойчивость по Ляпунову

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову, если:

<math>(\exists \varepsilon > 0)(\exists t_0 \in I)(\forall \delta > 0)(\exists x_0 \in B_\delta)(\exists t_* \ge t_0, t_* \in J^+) \Rightarrow (\|x(t_*, t_0, x_0)\| \ge \varepsilon)</math>

Асимптотическая устойчивость

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие <math>\lim_{t \to \infty} \|x(t_*, t_0, x_0)\| = 0</math> для всякого x с начальным условием x₀, лежащим в достаточно малой окрестности нуля.

Эквиасимптотическая устойчивость

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется эквиасимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость

Тривиальное решение системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее.

Асимптотическая устойчивость в целом

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее.

Равномерная асимптотическая устойчивость в целом

Тривиальное решение x = 0 системы (1) называется равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно- и глобальнопритягивающее.

Литература

• Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: «РХД», 2000, 176 с.
• Афанасьев В. Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Глава 1. Непрерывные и дискретные детерминированные системы // Математическая теория конструирования систем управления. — М.: Высшая школа, 2003. — 614 с. — ISBN 5-06-004162-X.