Звезда Клини

Звезда́ Кли́ни (или замыка́ние Кли́ни) в математической логике и информатике — унарная операция над множеством строк либо символов. Замыкание Клини множества V обозначается V*. Широко применяется в регулярных выражениях, на примере которых было введено Стивеном Клини для описания некоторых автоматов^{[источник не указан 5842 дня]}.

Если V — множество строк

то V* — минимальное надмножество множества V, которое содержит ε (пустую строку (англ.)) и замкнуто относительно конкатенации. Это также множество всех строк, полученных конкатенацией нуля или более строк из V.

Если V — множество символов

то V* — множество всех строк из символов из V с добавлением пустой строки.

Определение

Степень множества

Нулевая степень любого множества неизменна:

<math>

V^0 = \left\{\epsilon \right\} </math>. Остальные степени определяются рекурсивно:

<math>

V^{i+1} = V^i V = \left\{wv \left| w \in V^i \land v \in V \right.\right\} </math>, где <math> i \in \N_0 </math>.

Если V — множество символов

то <math>

V^i </math> — множество строк длиной <math> i </math> символов, взятых из <math> V </math>.

Звезда Клини

Замыкание Клини множества <math> V </math> есть

<math>

V^* = \bigcup_{i=0}^{\infty} V^i </math>.

То есть это множество всех строк конечной длины́, порождённое элементами множества <math> V </math>.

Плюс Клини

Есть операция, аналогичная звезде Клини, — плюс Клини:

<math>

V^+ = \bigcup_{i=1}^{\infty} V^i </math>. Как видим, отличается тем, что пропущено <math> V^0 </math>, содержащее пустую строку.

Свойства

• Связь операций:
  1. <math> V^+ = V^*V </math>
  2. <math> V^+ = V^* \Leftrightarrow \epsilon \in V</math>
• Идемпотентность:

<math> V^* = {V^*}^* </math>.

• Замыкание Клини включает в себя порождающее множество:

<math> V \subseteq V^* </math>.

• Замыкание Клини всегда содержит пустую строку:

<math> \epsilon \in V^* </math>.

• Счётность:

<math>

\left|V^* \right| = \left|V^+ \right| = \alef_0 \Leftarrow \varnothing \not= V \not= \left\{\epsilon \right\} </math>.

Примеры

Для множества строк

{"Go", "Russia"}* = {ε, "Go", "Russia", "GoGo", "GoRussia", "RussiaGo", "RussiaRussia", "GoGoGo", "GoGoRussia", "GoRussiaGo", …}.

Для множества символов

{'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", "ca", "cb", "cc", "aaa", …}.

Для множества из пустой строки

<math>

\left\{\epsilon \right\}^* = \left\{\epsilon \right\}^+ = \left\{\epsilon \right\} </math>.

Для пустого множества

<math> \varnothing^* = \left\{\epsilon \right\} </math>.

<math> \varnothing^+ = \varnothing^* \varnothing = \varnothing </math>.

Обобщение

Стро́ки образуют моноид по конкатенации с нейтральным элементом <math> \epsilon </math>. Таким образом, определение звезды́ Клини можно распространить на любой моноид.

Литература

• John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. — 3rd Edition. — 2006. — 535 p. — ISBN 0321462254
• Katrin Erk, Lutz Priese. Theoretische Informatik: eine umfassende Einführung. — 2., erw. — Springer-Verlag, 2002. — С. 27—29. — ISBN 3-540-42624-8

См. также

• Алгебра Клини
• Регулярные выражения
• Расширенная Бэкус — Наурова форма
• Лемма о разрастании