Символьное интегрирование

В математическом анализе символьное интегрирование — нахождение первообразной или неопределённого интеграла, данной функции f(x), то есть поиск дифференцируемой функции F(x), такой что

<math>\frac{dF}{dx} = f(x).</math>

Обозначение:

<math>F(x) = \int f(x)\,dx.</math>

Термин символьное используется для отличия от численного интегрирования, в котором вычисляется конкретое значние определённого интеграла <math>\textstyle F(x) = \int\limits_a^b f(x)\,dx</math> по значениям f(x).

Обе задачи имели большую теоретическую и практическую значимость задолго до эры цифровых компьютеров, но теперь их исследование проводится в области информатики, так как созданы и развиваются системы компьютерной алгебры.

Поиск производной — простой процесс, для которого легко определить алгоритм. Обратная задача гораздо более сложна, зачастую интеграл от элементарной функции не представим в замкнутой форме (комбинации конечного числа элементарных функций). См. первообразная.

Процедура, называемая алгоритм Риша, способна определить, существует ли интеграл и найти его для многих классов функций. Этот алгоритм продолжает совершенствоваться.

Примеры

<math>\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C</math>

символьный результат (неопределённый интеграл), C — константа интегрирования;

<math>\int\limits_{-1}^1 x^2\,dx = \frac{2}{3}</math>

символьный результат (определённый интеграл);

<math>\int\limits_{-1}^1 x^2\,dx \approx 0{,}6667</math>

численный результат для данного примера.

См. также

• Элементарная функция
• Первообразная
• Методы интегрирования
• Система компьютерной алгебры
• Алгоритм Риша

Справочники

• Symbolic Integration 1 (transcendental functions) by Manuel Bronstein, 1997 by Springer-Verlag, ISBN 3-540-60521-5
• Joel Moses, Symbolic integration: the stormy decade, Proceedings of the second ACM symposium on Symbolic and algebraic manipulation, p.427-440, March 23-25, 1971, Los Angeles, California, United States

Ссылки

• Bhatt, Bhuvanesh Risch Algorithm(англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
• Онлайн Калькулятор Интегралов