Темпоральная логика

Темпоральная логика (англ. temporal logic) в логике — это логика, учитывающая причинно-следственные связи в условиях времени. Используется для описания последовательностей явлений и их взаимосвязи по временной шкале. Она была разработана в 1960-х Артуром Приором на основе модальной логики и получила дальнейшее развитие в информатике благодаря трудам лауреата Тьюринговской премии Амира Пнуэли.

Есть два подхода темпоральной логики, основанные на принципах здравого смысла и диалектики: «после этого» означает «по причине этого», либо «после этого» означает «позже» в хронологическом смысле.

Пример

Рассмотрим утверждение: "Я голоден". Хотя смысл выражения не меняется со временем, его истинность может измениться. Утверждение в конкретный момент времени может быть истинным, либо ложным, но не одновременно. В противоположность нетемпоральным логикам, где значения утверждений не меняются со временем, в темпоральной логике значение зависит от того, когда оно проверяется. Темпоральная логика позволяет выразить утверждения типа "Я всегда голоден", "Я иногда голоден" или "Я голоден, пока я не поем".

Темпоральные операторы

В темпоральных логиках бывает два вида операторов: логические и модальные. В качестве логических операторов обычно используются (<math>\neg,\or,\and,\rightarrow</math>). Модальные операторы, используемые в логике линейного времени и логике деревьев вычислений, определяются следующим образом.

Текстовое обозначение	Символьное обозначение	Определение	Описание	Диаграмма
Бинарные операторы
<math>\phi</math> U <math>\psi</math>	<math>\phi ~\mathcal{U}~ \psi</math>	<math>\begin{matrix}(B\,\mathcal{U}\,C)(\phi)= \\ (\exists i:C(\phi_i)\land(\forall j<i:B(\phi_j)))\end{matrix}</math>	Until (strong): <math>\psi</math> должно выполниться в некотором состоянии в будущем (возможно, в текущем), свойство <math>\phi</math> обязано выполняться во всех состояниях до обозначенного (не включительно).	<timeline> ImageSize = width:240 height:94 PlotArea = left:30 bottom:30 top:0 right:20 DateFormat = x.y Period = from:0 till:6 TimeAxis = orientation:horizontal AlignBars = justify ScaleMajor = gridcolor:black increment:1 start:0 ScaleMinor = gridcolor:black increment:1 start:0 PlotData= bar:p color:red width:10 align:left fontsize:S from:1 till:3 bar:q color:red width:10 align:left fontsize:S from:3 till:5 bar:pUq color:red width:10 align:left fontsize:S from:1 till:5 </timeline>
<math>\phi</math> R <math>\psi</math> <math>\phi</math> V <math>\psi</math>	<math>\phi ~\mathcal{R}~ \psi</math> <math>\phi ~\mathcal{V}~ \psi</math>	<math>\begin{matrix}(B\,\mathcal{R}\,C)(\phi)= \\ (\forall i:C(\phi_i)\lor(\exists j<i:B(\phi_j)))\end{matrix}</math>	Release: <math>\phi</math> освобождает <math>\psi</math>, если <math>\psi</math> истинно, пока не наступит момент, когда <math>\phi</math> первый раз станет истинно (или всегда, если такого момента не наступит). Иначе, <math>\phi</math> должно хотя бы раз стать истинным, пока <math>\psi</math> не стало истинным первый раз.	<timeline> ImageSize = width:240 height:100 PlotArea = left:30 bottom:30 top:0 right:20 DateFormat = x.y Period = from:0 till:6 TimeAxis = orientation:horizontal AlignBars = justify ScaleMajor = gridcolor:black increment:1 start:0 ScaleMinor = gridcolor:black increment:1 start:0 PlotData= bar:p color:red width:10 align:left fontsize:S from:2 till:4 bar:q color:red width:10 align:left fontsize:S from:1 till:3 from:5 till:6 bar:pRq color:red width:10 align:left fontsize:S from:1 till:3 from:5 till:6 </timeline>
Унарные операторы
N <math>\phi</math> X <math>\phi</math>	<math>\circ \phi</math>	<math>\mathcal{N}B(\phi_i)=B(\phi_{i+1})</math>	NeXt: <math>\phi</math> должно быть истинным в состоянии, непосредственно следующим заданным.	<timeline> ImageSize = width:240 height:60 PlotArea = left:30 bottom:30 top:0 right:20 DateFormat = x.y Period = from:0 till:6 TimeAxis = orientation:horizontal AlignBars = justify ScaleMajor = gridcolor:black increment:1 start:0 ScaleMinor = gridcolor:black increment:1 start:0 PlotData= bar:p color:red width:10 align:left fontsize:S from:2 till:3 from:5 till:6 bar:Np color:red width:10 align:left fontsize:S from:1 till:2 from:4 till:5 </timeline>
F <math>\phi</math>	<math>\Diamond \phi</math>	<math>\mathcal{F}B(\phi)=(true\,\mathcal{U}\,B)(\phi)</math>	Future: <math>\phi</math> должно стать истинным хотя бы в одном состоянии в будущем.	<timeline> ImageSize = width:240 height:60 PlotArea = left:30 bottom:30 top:0 right:20 DateFormat = x.y Period = from:0 till:6 TimeAxis = orientation:horizontal AlignBars = justify ScaleMajor = gridcolor:black increment:1 start:0 ScaleMinor = gridcolor:black increment:1 start:0 PlotData= bar:p color:red width:10 align:left fontsize:S from:2 till:3 from:4 till:5 bar:Fp color:red width:10 align:left fontsize:S from:0 till:5 </timeline>
G <math>\phi</math>	<math>\Box \phi</math>	<math>\mathcal{G}B(\phi)=\neg\mathcal{F}\neg B(\phi)</math>	Globally: <math>\phi</math> должно быть истинно во всех будущих состояниях.	<timeline> ImageSize = width:240 height:60 PlotArea = left:30 bottom:30 top:0 right:20 DateFormat = x.y Period = from:0 till:6 TimeAxis = orientation:horizontal AlignBars = justify ScaleMajor = gridcolor:black increment:1 start:0 ScaleMinor = gridcolor:black increment:1 start:0 PlotData= bar:p color:red width:10 align:left fontsize:S from:1 till:3 from:4 till:6 bar:Gp color:red width:10 align:left fontsize:S from:4 till:6 </timeline>
A <math>\phi</math>	<math> \mathcal{A} \phi </math>	<math>\begin{matrix}(\mathcal{A}B)(\psi)= \\ (\forall \phi:\phi_0=\psi\to B(\phi))\end{matrix}</math>	All: <math>\phi</math> должно выпоняться на всех ветвях, начинающихся с данной.
E <math>\phi</math>	<math> \mathcal{E} \phi </math>	<math>\begin{matrix}(\mathcal{E}B)(\psi)= \\ (\exists \phi:\phi_0=\psi\land B(\phi))\end{matrix}</math>	Exists: существует хотя бы одна ветвь, на которой <math>\phi</math> выполняется.

Другие модальные операторы

• Оператор W, означающий Weak until: <math>f W g</math> эквивалентно <math>f U g \or G f</math>

Тождества двойственности

Подобно правилам де Моргана существуют свойства двойственности для темпоральных операторов:

• <math>\phi ~\mathcal{U}~ \psi = \neg(\neg \phi ~\mathcal{V}~ \neg \psi)</math>
• <math>\neg \Diamond \phi = \Box \neg \phi</math>
• <math> \neg \mathcal{A} \phi = \mathcal{E} \neg \phi </math>

Приложения

Темпоральные логики часто применяются для выражения требований формальной верификации. Например, свойства типа "Если поступил запрос, то на него обязательно придёт ответ" или "Функция вызывается не более одного раза за вычисление" удобно формулировать с помощью темпоральных логик. Для проверки таких свойств используются различные автоматы, например, автоматы Бюхи для проверки свойств, выраженных логикой линейного времени LTL.

Темпоральные логики

Известны следующие темпоральные логики:

• Интервальная темпоральная логика
• μ-исчисление
  • CTL*
    • Логика линейного времени LTL
    • Логика деревьев вычислений CTL